Спектр сигнала

Разложение функции на гармонические составляющие, то есть вычисление коэффициентов Фурье, принято называть спектральным анализом. А воссоздание функции, представленной рядом Фурье, называют спектральным синтезом. Гармонику периодической функции или сигнала с k=1 называют основной или первой гармоникой сигнала. Она задает его частоту повторения f₁. Остальные гармоники называют высшими, их частоты равны f_k=kЧf₁, где k=2,3,4,....Член a₀/2 это постоянная составляющая сигнала — ее можно трактовать как нулевую гармонику. Таким образом, спектр периодических сигналов, представимых рядом Фурье дискретный — он содержит набор фиксированных частот f_k, где k=1,2,3,.... Ясно, что такой ряд лишь одно из достаточно простых и возможных разложений y(t) по ортогональному тригонометрическому базису.

Как видно из (1.9) сложные периодические сигналы могут содержать множество (теоретически бесконечное число) гармонических составляющих с разной амплитудой (1.10) и фазой (1.11). С помощью ряда Фурье мы может установить, сколько гармоник сигнала нужно для представления сложного сигнала с заданной погрешностью. Словом, мы можем узнать какими амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками должен обладать тракт того или иного устройства преобразования и передачи сигналов.

Еще в 1807 Фурье теоретически обосновал возможность гармонического синтеза произвольных периодических зависимостей, удовлетворяющих условиям Дирихле на промежутке (-p, p). Ряд для представления таких зависимостей:

(1.3)

получил название ряда Фурье. Коэффициенты ряда (1.3) находятся по формулам Эйлера-Фурье:

(1.4)

и

. (1.5)

Важными сферами применения рядов Фурье стали радиотехнические устройства и системы. В них периодические сигналы обычно представляют как функции времени y(t) на отрезке [0, T] или [-Т/2, T/2] с периодом T=1/f₁, где f₁ — частота первой гармоники периодического сигнала. В этом случае ряд Фурье, после несложных преобразований, записывается в виде:

(1.6)

где

(1.7)

и

. (1.8)

В этом случае коэффициенты a_k (1.7) и b_k (1.8) ряда (1.6) описывают косинусную и синусную составляющие k-ой гармоники сигнала с периодом T и частотой f₁=1/T. Часто используется иная форма ряда Фурье, упрощающая его вычисления:

, (1.9)

Здесь амплитуды гармоник Mk и их фазы jk определяются выражениями:

(1.10)

и

. (1.11)